Sul piano cartesiano possono essere rappresentati tutti i punti che si vogliono a patto di precisarne le coordinate. Nelle figura qui sotto è riportato il piano cartesiano con il punto P di coordinate (2, 3):

Le coordinate del punto sono dunque due numeri separati da una virgola. Per convenzione il primo numero è la coordinata x, mentre il secondo è la coordinata y. Quando si dice che un punto ha coordinate (2, 3) si intende che la x = 2 e la y = 3, cioè il primo dei due numeri all’interno delle parentesi si riferisce all’asse x mentre il secondo all’asse y. In base a questa convenzione il punto Q di coordinate (3, 2) è diverso dal punto P, cioè si trova in un’altra posizione. Sapresti disegnare nel piano cartesiano il punto Q? (Il punto Q deve essere tale da avere x = 3 e y = 2). Considera ora la figura qui sotto:

Sapresti dire che coordinate ha il punto R?

Per rispondere a questa domanda devi trovare la coordinata x e la coordinata y del punto. Per trovare la coordinata x del punto Q basta tracciare un segmento parallelo all’asse y passante per il punto Q; per trovare la coordinata y……………

Quanto vale la y per il punto R?

A questo punto sappiamo disegnare nel piano cartesiano tutti i punti di cui ci verranno fornite le coordinate (x, y). Utilizzando un foglio a quadretti, o meglio la carta millimetrata, siamo anche in grado di dire che coordinate ha un particolare punto disegnato nel piano.

In conclusione possiamo senz’altro affermare che ad ogni coppia di coordinate (x, y) corrisponde un solo punto nel piano cartesiano. Viceversa ad ogni punto del piano cartesiano corrisponde una sola coppia di coordinate (x, y)

Per esercizio disegna su un piano cartesiano i seguenti punti:

(-1, -1)

(4, -1)

(4, 4)

(-1, 4)

Se è tutto giusto, unendo i punti nell’ordine in cui li hai disegnati, dovresti vedere un quadrato.

Consideriamo il piano cartesiano nella figura qui sotto, in cui è raffigurata la retta r:

Anche senza conoscere le equazioni delle rette, possiamo già dire due cose importanti:

• la retta r incontra l’asse x nel punto di coordinate (-2, 0);

• la retta r incontra l’asse y nel punto di coordinate………

Sapresti trovare le coordinate dei punti A, B, C e D appartenenti alla retta? (v. figura qui sotto)

Supponiamo di voler determinare le coordinate di tutti i punti della retta r. Il procedimento utilizzato sino ad ora non è di grande utilità in quanto i punti che formano la retta r sono infiniti. Proviamo allora a fare il seguente ragionamento:

un punto qualsiasi del piano cartesiano può o meno appartenere alla retta r. Se ad esempio disegniamo nella figura precedente il punto P di coordinate (2, 1) si constata immediatamente che questo non appartiene alla retta r. Invece i punti A, B, C e D appartengono alla retta r. Ora ci chiediamo se esiste una relazione tra le coordinate di tutti i punti che appartengono alla medesima retta. Poiché noi conosciamo già le coordinate di 4 punti della retta r, proviamo a scriverle in una tabella:

Esaminando la tabella sembra proprio che una relazione ci sia. Sapresti dire quale?

Non è molto difficile: in ogni punto che appartiene alla retta r se aumento di 1 la coordinata x la coordinata y aumenta di 0.5. Se questa relazione fosse vera allora anche il punto (5, 3.5) dovrebbe appartenere alla retta. Puoi verificarlo?

Cosa deve accadere alla y, se la x aumenta di 0.5, affinché il punto sia sempre sulla retta? Vediamolo aiutandoci con la figura seguente:

Si vede abbastanza bene che y deve aumentare di 0.25.

Abbiamo dunque scoperto che tutti i punti che si trovano sulla stessa retta hanno le coordinate che sono legate in qualche modo. Ad esempio se il punto (1, 1.5) appartiene alla retta r sappiamo con certezza che il punto (1 + 3, 1.5 + 1.5) = (4, 3) vi appartiene in quanto abbiamo aggiunto alla y la metà della quantità aggiunta alla y. Il punto (5, 4) appartiene alla retta r? (ricordati che ora conosci due metodi per rispondere a questa domanda: il primo è quello grafico, il secondo è quello di ragionare sulle coordinate dei punti).

Disegna i due punti di coordinate (2, 4) e (4, 8). Traccia la retta r passante per questi due punti. Che relazione c’è tra la coordinata x e la coordinata y dei punti che appartengono alla retta r? Il punto di coordinate (6, 5) appartiene alla retta r? Giustifica la risposta.

Tutti i punti che appartengono alla medesima retta sono tali che la coordinata x di ciascun punto è legata alla coordinata y dello stesso punto. Consideriamo la retta r raffigurata nella figura seguente:

Il punto A appartiene alla retta r ed ha coordinate (1, 0.5). Anche il punto B, di coordinate (3, 1.5) appartiene alla retta r. In entrambi i casi la coordinata y è la metà di quella x. Potrebbe essere questa la relazione che lega tutti i punti della retta r? Per verificarlo, scriviamo innanzi tutto questa relazione in una forma "matematica":

L’affermazione fatta è vera? Proviamo a verificarlo, però prima è bene avere ben chiaro cosa significa avere una relazione tra le coordinate x e y dei punti del piano cartesiano.

Sappiamo che un punto generico (cioè qualsiasi) del piano cartesiano è individuato dalle coordinate (x, y). Quando si scrive (x, y), non si pensa a nessun punto in particolare, nel senso che tale punto può essere qualsiasi: (3, 5) ; (-4, 3.5) ; (7, 77) sono tutti punti particolari del piano cartesiano; il punto di coordinate (x, y) li rappresenta tutti contemporaneamente (proprio perché non abbiamo assegnato nessun valore particolare né alla x né alla y). Supponiamo ora di considerare tutti i punti (x, y) tali che per essi sia valida la relazione che abbiamo trovato sopra: y = ½ x. Dovrebbe essere abbastanza chiaro che ora i punti (x, y) non possono essere qualsiasi. Ad esempio il punto (4, 3) non soddisfa la relazione data. Infatti sostituendo nella relazione al posto della y la coordinata y del punto (3) e al posto della x la coordinata x del punto (4) si ottiene 3 = 2. Come è possibile che tre sia uguale a due? Abbiamo sbagliato a eseguire i calcoli? In realtà non c’è stato nessun errore; il fatto che abbiamo ottenuto una uguaglianza non vera significa semplicemente che il punto di coordinate (4, 3) non soddisfa la relazione data. Quali sono allora i punti che soddisfano la relazione data? Se tutto quello che abbiamo detto sino ad ora è vero i punti che soddisfano la relazione data sono quelli che appartengono alla retta r. Un punto che non appartiene alla retta r non soddisfa la relazione data (nel senso che sostituendo le sue coordinate nella relazione si trova una disuguaglianza falsa), viceversa un punto che non soddisfa la relazione non può trovarsi sulla retta.

Trovare almeno 4 punti che soddisfano la relazione y = 3x e disegnarli nel piano cartesiano. Tali punti sono allineati?

Fino ad ora quanto detto è stato più che altro discorsivo. Comunque i seguenti risultati dovrebbero essere abbastanza chiari:

• esiste una corrispondenza biunivoca tra la coppia di numeri (x, y) e il punto di coordinate (x, y) nel piano cartesiano;

• una retta è un particolare insieme di punti del piano cartesiano: tutti i punti che soddisfano una certa relazione tra le coordinate y e le coordinate x appartengono a una retta.

La relazione che definisce una retta prende il nome di equazione della retta: essa lega la coordinata y di un punto alla coordinata x dello stesso punto mediante una uguaglianza. Se l’uguaglianza è soddisfatta il punto appartiene alla retta, se non è soddisfatta esso non appartiene alla retta.

Se qualcuno di questi concetti non fosse ancora chiaro, non ti preoccupare: prima di andare avanti però ti consiglio di rivedere le schede precedenti.

Ovviamente non tutte le relazioni che legano la y con la x daranno luogo a una retta, ad esempio la equazione y = x*x (x per x) non dà luogo a una retta (sapresti disegnare su un grafico almeno 4 punti che soddisfano la relazione precedente? Sono questi punti allineati?).

Di seguito ricaveremo (nel senso che dimostreremo) l’equazione della retta in forma esplicita. Ti ricordo che la forma esplicita di una equazione e la forma implicita si riferiscono semplicemente al modo in cui l’equazione è scritta. Ad esempio l’equazione 3x + y –2 = 0 è una equazione in forma implicita, mentre y = -3x +2 è la stessa equazione scritta in forma esplicita (Sei convinta del fatto che sia la stessa equazione?). Quando diciamo di voler ricavare l’equazione della retta in forma esplicita vuol dire che la ricaveremo nella forma y = …..

La dimostrazione dell’equazione di una retta in forma esplicita è riportata da tutti i libri di testo; naturalmente non è detto che tutte le dimostrazioni, pur conducendo alla stesso risultato, siano uguali. Allo scopo di ricavare l’equazione della retta in forma esplicita, cioè la relazione tra la coordinata y e la coordinata x di un punto appartenente alla retta consideriamo la seguente figura:

In essa è rappresentata una generica retta r (generica nel senso che su di essa non facciamo nessuna particolare ipotesi). A, B e I sono punti che appartengono alla retta, mentre A’, B’ e O non lo sono. In particolare siano (0, q) le coordinate del punto I che è dato dall’intersezione della retta r con l’asse delle y. Osserviamo che la coordinata x del punto I deve essere per forza zero, altrimenti il punto P non si troverebbe sull’asse y. Inoltre abbiamo indicato con q la coordinata y del punto I, in quanto non vogliamo assegnare ad essa nessun valore particolare. Dovrebbe essere abbastanza chiaro che il segmento OI è lungo q.

Poiché i triangoli IA’A e IB’B sono simili (avendo i tre lati uguali) essi sono tali che il rapporto tra due lati di un triangolo è uguale al rapporto tra i lati corrispondenti dell’altro triangolo:

AA’ : IA’ = BB’ : IB’

A questo punto osserviamo che sui punti A e B non è stata fatta alcuna ipotesi, essi sono cioè due punti qualsiasi della retta r. Inoltre i segmenti orizzontali dei due triangoli sono dati dalla coordinata x del punto sulla retta, mentre quelli verticali dalla coordinata y diminuita della quantità q. La relazione di proporzionalità scritta sopra ci dice allora che per un qualunque punto con coordinate (x, y) della retta il rapporto (y – q)/x = costante. La figura seguente riassume quanto detto:

Dunque data una qualsiasi retta nel piano cartesiano, che incontra l’asse y nel punto (0, q), per ogni punto di coordinate (x, y) che si trova sulla retta deve essere soddisfatta la relazione (y – q)/x = costante. Di seguito è riportata una retta che abbiamo già incontrato in una delle schede precedenti:

Sapresti dire quali sono le coordinate del punto di intersezione con l’asse y? Quanto vale q?

Qual è la costante della retta? (Per rispondere a questa domanda basta prendere un punto della retta, ad esempio il punto (2, 2) ed eseguire il rapporto (y-q)/x che nel caso in esame è dato da (2-1)/2 e quindi la costante della retta in figura è ½. Qualunque altro punto della retta darà luogo allo stesso valore della costante (prova ad eseguire il rapporto con altri due o tre punti). Invece, un punto che non appartiene alla retta, ad esempio il punto (3,3) darà luogo a un altro valore.

Poiché scrivere costante è troppo lungo, si preferisce indicare questa quantità con una lettera. Tradizionalmente si sceglie la lettera m. La relazione che definisce la retta è data allora da:

(y-q)/x = m

Eseguendo alcuni passaggi algebrici la precedente si scrive:

che rappresenta l’equazione in forma esplicita della retta.

Disegnare la retta di equazione y = 3x. Quanto vale m in tale equazione? Quanto vale q? Qual è il punto di intersezione di questa retta con l’asse y? E con l’asse x? Il punto di coordinate (1, 3) appartiene alla retta? E quello di coordinate (2, 2)?