[1] Aiuto!!!!!!!!!Sono una studentessa del liceo scientifico classe V sono disperata non mi riesce capire da dove vengono fuori le definizioni dei limiti mi potete aiutare? Ve ne sarei molto grata grazie (quesito posto il 16/10/2000)

[2] I limiti per me sono un mistero, vi prego aiutatemi! Fra poco ho un compito e vorrei sapere le cose principali! (quesito posto il 22/10/2000)

La risposta ai due quesiti proposta è stata suddivisa in tre parti:

1. Introduzione al concetto di limite
2. Il concetto di intorno di un punto
3. Problemi sui limiti

E’ noto che la divisione di un numero per zero non è definita; se si prova ad eseguire una divisione per zero (ad esempio 3:0) con la calcolatrice, questa darà errore. Fin qui non ci sono problemi: sappiamo che esiste una operazione (la divisione) che può essere eseguita sempre, tranne nel caso in cui il denominatore sia 0. Una cosa simile accade per l'operazione "radice quadrata": essa è definita solo per argomenti maggiori o uguali a zero.

A complicare la vita agli studenti c'è sempre qualcuno che non si fa i fatti suoi. Così un giorno qualcuno ha detto: è vero che la divisione per zero non la posso fare, però posso fare una divisione per un numero molto vicino a zero! Bisogna ammettere che chi ha pensato questa cosa non ha poi tutti i torti: tornando alla calcolatrice possiamo dividere il numero tre per 0,0001 e poi per 0,000001 e poi per un numero sempre più piccolo................qual è il risultato? Come ci si renderà conto, il risultato è un numero sempre più grande. Quindi la divisione può essere eseguita per un numero molto piccolo, talmente piccolo che è quasi zero ma zero non è. Anche se sembra quasi un gioco di parole, in realtà ci siamo avvicinati molto a introdurre a cosa servono i limiti.

Prima di continuare consideriamo questo secondo esempio.

Si divide a metà un quadrato di lato uno: si tratteggia una metà e si divide la seconda metà in due parti. Ora si tratteggia una metà e si divide l'altra metà in due parti. Se davvero si sta facendo questa prova, a un certo punto ci si accorgerà che la metà da tratteggiare è diventata talmente piccola che non riesci più a continuare il disegno. In ogni caso, supponendo di avere una penna con la punta sottilissima saremmo senz'altro in grado di proseguire. Si consideri ora la seguente domanda? Se "alla fine" si sommano le aree di tutte le figure tratteggiate che risultato si ottiene? Forse la risposta sembrerà difficile o forse no. In realtà, poichè "alla fine" tutto il quadrato sarà tratteggiato, l'area delle figure tratteggiate sarà pari all'area del quadrato cioè a 1.

Dopo aver esaminato questi due esempi possiamo dire che il concetto di limite viene introdotto per definire in modo rigoroso (in matematica tutto è rigoroso) espressioni come "un numero molto vicino a zero" (primo esempio) o "alla fine" (secondo esempio).

Si noti che ciò non è una costruzione artificiosa, infatti una volta introdotto il concetto di limite il primo esempio si traduce semplicemente nella frase "il limite di 3/x per x che tende a zero è infinito" mentre il secondo esempio diventa "il limite della somma 1/2 + 1/4 + 1/8 +...+ 1/n per n che tende all'infinito è pari a 1". Sembra molto più elegante!

Prima cosa importante: dire che x tende a zero (o n tende a infinito) vuol dire che x può essere un numero molto vicino a zero ma non sarà mai zero (ricordo che la definizione di limite non richiede che la funzione sia definita in X₀).

Seconda cosa importante: una volta stabilito a cosa tende x, il limite ci dice come si comporta la f(x) per x "vicino" X₀.

A questo punto dovremmo essere in grado di capire anche la definizione di limite. Di seguito si esamina solo quella di limite finito per x che tende a un valore finito (per gli altri casi si ragiona in maniera analoga).

Si dice che il limite di f(x) per x che tende a x₀ è L se per ogni e > 0 esiste un d > 0 tale che

| x-x₀ | < d implica | f(x)-L | < e.

Per comprendere la definizione di limite ora dobbiamo ricordare tutto quanto è stato detto prima. La cosa fondamentale è rendersi conto da dove escono fuori e e d. Queste due grandezze (positive) non sono altro che il modo matematico (rigoroso) per dire "molto vicino".

Infatti | x-x₀ | < e e | f(x)-L | < e non rappresentano altro che intorni rispettivamente di x e di f(x).

Pertanto la definizione di limite richiede che per ogni intorno di L sull'asse y (per ogni e) esista un intorno di x₀ (esiste un d) tale che se x è preso in quell'intorno allora f(x) ricade nell'intorno di L. Si osservi che la definizione richiede espressamente che ciò si verifichi per ogni intorno di L. Cosa accadrebbe se la condizione richiesta dalla definizione di limite non dovesse valere per tutti gli intorni? Si avrebbe che il calcolo del limite sarebbe ambiguo (provate a pensare perchè).

Consideriamo l'insieme R dei numeri reali. E' noto che tra gli elementi dell'insieme R (i numeri reali) e i punti di una retta esiste una corrispondenza biunivoca, nel senso che è possibile associare ad ogni elemento di R un punto della retta. Tale corrispondenza ci consente di rappresentare graficamente elementi e sottoinsiemi di R.

Consideriamo ad esempio, l'insieme dei numeri reali tali che, detto x un elemento dell'insieme, si abbia -5< x <= 3. Un insieme di questo tipo (è un sottoinsieme di R) prende il nome di intervallo e può essere indicato in vari modi:

(-5, 3] (la parentesi tonda si usa se l'elemento di confine non è compreso nell'insieme; quella quadra se è compreso)

ed anche graficamente (gli elementi dell'intervallo sono in grassetto):

Gli intorni sono intervalli particolari che possono essere definiti per ogni elemento dell'insieme R e quindi per ogni punto della retta.

Innanzi tutto diciamo che quando si parla di intorno si deve tener sempre presente che questo si riferisce a un particolare punto, cioè dire intorno e intorno di un punto è la stessa cosa. La definizione di intorno si può trovare su tutti i libri di testo, qui se ne propone una non rigorosa ma certamente più intuitiva:

Dato un punto X₀ appartenente all'insieme dei numeri reali si definisce intorno del punto X₀ un insieme di punti "non lontani" da X₀ (compreso X₀).

Questa definizione sembra strana ma in realtà evidenzia molto bene che dato un punto X₀, esistono infiniti intorni di questo. Per individuare un particolare intorno del punto X₀ dobbiamo specificare i punti di confine dell'intorno. Ad esempio se X₀ = 3 l'intervallo (0.8, 3.5) è un intorno di X₀. Volendo generalizzare un intorno di X₀ è qualunque intervallo (X1, X2) che soddisfa le seguenti condizioni:

X₁ < X₀

X₀ < X₂

Dunque un intorno di X₀ ha la seguente rappresentazione grafica:

In genere si preferisce individuare gli intorni definendo i punti di confine a partire da X₀; si definiscono cioè due numeri positivi d₁ e d₂ in modo che il punto di confine inferiore si scrive

X₀ - d₁ mentre il punto di confine superiore si scrive X₀ + d₂. E' immediato constatare che tale modo di procedere è perfettamente equivalente al precedente essendo:

X₁ = X₀ - d₁

X₂ = X₀ + d₂

Dunque un intorno di X₀ ha anche la seguente rappresentazione grafica:

A questo punto osserviamo subito una cosa: la definizione di intorno non richiede che questo sia simmetrico; tuttavia da un intorno asimmetrico si può sempre definire, come sottoinsieme di questo, un intorno simmetrico (a tale scopo è sufficiente considerare il valore più piccolo tra d₁ e d₂) . Ad esempio:

l'intervallo in rosso è un intorno simmetrico ricavato da un intorno asimmetrico.

A questo punto resta da chiarire come è fatto un intorno di (oppure ). Consideriamo . E' chiaro che non esistono numeri reali più grandi di , dunque un suo intorno non potrà che essere sinistro. Per definire un intorno di sarà dunque sufficiente stabilire qual è il punto di confine inferiore dell'intervallo. Ad esempio l'insieme dei punti {x | x > 8} è un intorno di . Un intorno generico è definito come l'insieme {x | x > M}, ove M > 0. Qui sotto è riportata la rappresentazione grafica del generico intorno di :

La definizione del generico intorno di è analoga.

Osserviamo che:

- sia d₁ (o d₂) che M sono numeri; nessuno dei due è un intervallo (o un intorno)! Essi sono numeri che permettono di definire un intervallo.

- Il fatto di utilizzare il simbolo M per definire un intorno di più infinito e il simbolo d per definire un intorno di X₀ è puramente convenzionale! Nulla vieta di dire che l'intervallo (X₀ - M, X₀ + M) e un intorno di X₀ e che l'insieme {x | x > d} è un intorno di a patto che si specifiche che M e d siano quantità positive.

- Anche e è un numero! E' sempre convenzionale utilizzare il simbolo tale simbolo per definire gli intorni sull'asse y e di utilizzare il simbolo d sull'asse x. Analogamente è convenzionale utilizzare il simbolo K (che è sempre un numero) per definire gli intorni di sull'asse y.

3. Problemi sui limiti

Si può dire che esistono due tipi di problemi sui limiti:

1) dimostrare, in base alla definizione, il risultato di un limite;

2) calcolare un limite.

Di seguito vengono brevemente esaminati questi due tipi di problemi.

1) In questo tipo di problema non bisogna calcolare il limite (che viene fornito nel testo dell'esercizio) ma bisogna dimostrare che il valore dato è quello giusto. Ciò viene fatto seguendo fedelmente la definizione di limite.

Si consideri il seguente esempio:

per dimostrare che il limite sopra è vero si utilizza la definizione che richiede che per ogni e > 0 sia possibile trovare un valore M > 0 tale che se x > M (intorno di ) allora f(x) è compresa nell'intorno (0 - e, 0 + e) = (-e, e).

Tutti i problemi di questo tipo si risolvono al contrario! Cioè si suppone che la definizione di limite sia soddisfatta e si cerca il valore di M che la soddisfa. Nel nostro caso supponendo che il limite sia quello giusto risulta:

| 1/x | < e

tale disuguaglianza è ovviamente soddisfatta se | x | > 1/e

Ora poiché x tende a (nell'esempio) possiamo essere certi che x è un valore positivo e quindi si può scrivere:

x > 1/e

se ora poniamo M = 1/e

si ha che x > M implica che | 1/x | < e

che è quanto richiesto dalla definizione di limite.

2) Il calcolo dei limiti consiste nel calcolare il valore a cui tende una funzione quando x tende al valore dato.

Ad esempio viene richiesto di calcolare:

Tale limite sembra abbastanza semplice da calcolare: se x si avvicina al valore 4 allora x + 2 si avvicina al valore 6, pertanto il limite dato è 6. Dunque quello che si fa è sostituire il valore 4 al posto della x (questa operazione si può fare solo se la funzione è continua). Purtroppo non tutti i limiti si calcolano allo stesso modo! La cosa più frequente che accade è che sostituendo nella funzione il valore a cui tende la x si ottiene una forma indeterminata, che è necessario risolvere con opportune tecniche.