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Il quesito
Nello studio delle successioni vi sono vari teoremi tra cui quello dei
"due carabinieri". Sapresti dirmi in che cosa consiste e soprattutto
perchè si chiama così ?
Grazie
La risposta
Il teorema dei due carabinieri, anche detto del confronto, si chiama così perché se una successione "sta in mezzo" a due successioni (i due carabinieri) che convergono allo stesso limite allora anche tale successione converge a quel limite.
Volendo essere più rigorosi, "stare in mezzo" significa essere compreso, cioè la successione deve essere minore uguale di una e maggiore o uguale dell'altra. E' importante osservare che tale condizione non è richiesta sempre, ma soltanto a partire da un certo n in poi (si dice definitivamente). Per maggiore completezza di seguito viene enunciato il Teorema e si fornisce un esempio.
Teorema dei due carabinieri o del confronto
Siano bn e cn due successioni tali che:
Se an è una successione tale che risulta definitivamente (cioè da un certo n in poi):
allora si ha:
L'utilità di questo teorema consiste nel fatto che esso consente di calcolare il limite di una successione a partire da quello di altre a patto che si riesca a precisare la disuguaglianza dell'ipotesi.
Esempio
Consideriamo le successioni:
bn = 0 (successione costante, che evidentemente tende a zero);
(successione che tende a zero)
Sia:
Essendo:
allora:
