Un limite "difficile"

area voluta e creata al solo scopo informativo scolastico
INTERNET FREE ZAPPING

Il quesito

Sono uno studente del quinto anno del Liceo Scientifico, e sto studiando i limiti. Io e la mia classe ci siamo trovati di fronte alla risoluzione del limite: , di cui però non riusciamo a togliere l'indeterminazione. Chiediamo pertanto aiuto a voi nella speranza che ci possiate risolvere questo esercizio per il quale ragioniamo da una settimana. Ringraziandovi anticipatamente per il tempo e la collaborazione che ci darete.

La risposta

Si ha che:

ovviamente questo era il risultato che tutti voi vi aspettavate e quindi la cosa importante è esaminare come questo limite deve essere calcolato.

Il metodo più facile si ha senz’altro applicando il Teorema di De L’Hopital ma esso richiede il concetto di derivata di una funzione che non è stato ancora da voi studiato. Comunque tale teorema dice ci porta a dire che:

Se non possiamo utilizzare questo teorema, proviamo in un altro modo.

Quello che sappiamo è che sia il numeratore che il denominatore tendono all’infinito se x tende a + infinito e quindi abbiamo una forma indeterminata.

In genere quando non so calcolare un limite la prima cosa che faccio è utilizzare la calcolatrice e "simulare" il comportamento della funzione facendo tendere x al valore dato. Nel caso della funzione in esame si ottiene:

per x = 1 f(x) = 6,38

per x = 10 f(x) = 48516519

per x = 100 f(x) = 10⁸⁴ (più o meno)

Si potrebbe continuare, ma a un certo punto la calcolatrice darà un errore perché il numero da calcolare sarà troppo grande. Comunque una cosa sembra chiara: man mano che x cresce (e tende a + infinito) la funzione cresce anch’essa e in maniera vertiginosa. Se si calcolano separatamente numeratore e denominatore si può constatare come il numeratore cresca molto più rapidamente del denominatore e quindi ci aspettiamo che il primo tenda a infinito molto prima del secondo (si dice che e^2x –1 è un infinito di ordine superiore a x). In pratica, con il tendere di x a + infinito eseguire il rapporto contenuto nella funzione vuol dire dividere un numero grandissimo per un numero molto più piccolo e quindi il risultato sarà pure grandissimo (al limite infinito!).

Se volete, potete provare a disegnare per punti il grafico di e^2x –1 e di x; vi accorgerete presto che è impossibile rappresentare con la stessa scala le due funzioni.

Qui sotto è riportato solo un grafico qualitativo dove il numeratore f(x) e il denominatore g(x) sono confrontati.

Possiamo provare a utilizzare la definizione di limite e dimostrare che:

per ogni K > 0 esiste un M > 0 tale che se x > M allora

Si tratta di risolvere la disequazione , che è una disequazione trascendente in quanto l’incognita figura anche come esponente. Tali disequazioni possono essere risolte solo per via grafica e con una certa approssimazione (quando si sarà affrontato lo studio delle funzioni tale risoluzione grafica acquisterà un carattere più rigoroso).

Dalla figura riportata sopra sarà forse facile convincersi che per ogni K (al variare di K varia l’inclinazione della retta) esiste sempre un punto di intersezione con la curva in rosso in x = M. Si vede poi "graficamente" che per x > M la definizione di limite è soddisfatta.

A questo punto dovremmo essere abbastanza convinti che il limite dato dia come risultato +infinito. Tuttavia non è stata fornita ancora una dimostrazione rigorosa. Purtroppo, senza ricorrere al teorema di De L’Hopital o al concetto di ordine di infinito la cosa sembra difficile.

In realtà una dimostrazione rigorosa è possibile, ma richiede una impostazione del problema che alle scuole superiori non viene (giustamente) seguita. Di seguito viene solo descritto il procedimento da seguire e i risultati cui man mano si perviene vengono solo enunciati.

Per prima cosa si dimostra (per induzione) che (disuguaglianza di Bernoulli):
Si considera poi la successione , con a > 1, e si dimostra che:

Tale dimostrazione si effettua utilizzando il teorema del confronto (per le successioni), il risultato 1. e ponendo a = 1+ h (con h > 0). Allora si può scrivere:
A partire dal risultato 2. Si dimostra, con diversi passi intermedi e utilizzando il Teorema del confronto per i limiti di successione, che:
Si dimostra un Teorema (detto Teorema Ponte) che mette in relazione i limiti di funzione con i limiti di successione. Tale Teorema, a partire dal risultato 3. Consente di scrivere:

Quest’ultimo risultato consente di calcolare il limite proposto. Infatti, ricordando i teoremi sui limiti:

Con riferimento al risultato 4 basta porre e² = a e osservare che a = 1, dunque:

comune@piazzabrembana.com | turisti@piazzabrembana.com | alimentaristi@piazzabrembana.com casarasa@piazzabrembana.com | regcri@piazzabrembana.com | kcpcas@tin.it