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La risposta a questo quesito di nautica rappresenta un'ottima introduzione al calcolo integrale.

Supponiamo di trovarci in su una zattera in mezzo al mare completamente in balia della corrente. E’ ovvio che ci muoveremo nella stessa direzione della corrente e supponiamo, anche se un po’ meno ovvio, con la stessa velocità della corrente. Indichiamo con V la velocità della corrente (sia ad esempio 5 nodi). Volendo rappresentare su un grafico l’andamento nel tempo (espresso in ore) della velocità della corrente si ottiene la seguente figura:

L’andamento della velocità con il passare del tempo è data dalla retta in rosso, che indica un andamento costante. Quante miglia avremo percorso dopo due ore? La risposta è abbastanza facile: procedendo alla velocità di cinque nodi in un’ora percorriamo 5 miglia e quindi in due ore si percorrono dieci miglia. La formula per ricavare le miglia percorse (indicate con M) nell'intervallo di tempo (t’’ – t’) si scrive:

M = V(t’’- t’)

Le miglia percorse possono ottenersi anche per via geometrica osservando che esse sono date dall’area colorata in blu nella figura sotto:

Infatti la figura che racchiude la zona in blu è un rettangolo con base V e altezza (t’’ – t’) pertanto l’area è data dalla formula:

Area = b*h = V(t’’- t’)

Che è proprio la formula che permette di calcolare le miglia percorse.

Supponiamo ora di essere un po’ più fortunati (o sfortunati) e ammettiamo che la velocità della corrente che ci trasporta non sia costante ma che aumenti nel tempo, ad esempio mezzo nodo ogni ora. In questo caso il grafico che rappresenta l’andamento della velocità della corrente nel tempo è il seguente:

In questo caso l’andamento della velocità è rappresentato da una retta inclinata dal momento che la velocità aumenta. Se guardiamo con attenzione il grafico si vede che ogni ora la velocità aumenta di ½ nodo. La formula che esprime la velocità in funzione del tempo è data da:

v(t) = u*t

ove con v(t) si è indicata la velocità al tempo t e con u il tasso di variazione della velocità nel tempo (nell’esempio u = ½). Una piccola osservazione sulle unità di misura di u: u è una grandezza che moltiplicata per un tempo (misurato in ore) deve fornire una velocità (misurata in nodi cioè miglia/ore); dunque l’unità di u è miglia/(ore²).

Quante miglia percorriamo questa volta in due ore? La risposta non è così semplice come nel caso precedente in quanto questa volta la velocità non è costante. Ricaviamo dapprima le miglia percorse per via grafica: infatti le miglia percorse sono sempre date dall’area in blu della figura sottostante:

In questo caso la figura che racchiude l’area è un trapezio con le seguenti caratteristiche:

• base minore b pari alla velocità iniziale V = 1,5 nodi;

• base maggiore B pari alla velocità finale V = 2,5 nodi;

• altezza h pari all’intervallo di tempo (t’’ – t’) (2 ore nell’esempio).

Pertanto l’area del trapezio e quindi le miglia percorse M si ottengono da:

Area = (B + b)*h/2 = 4

Dunque in due ore abbiamo percorso 4 miglia. Allo stesso risultato saremmo giunti osservando che nell’arco della due ore abbiamo viaggiato con una velocità media di 2 nodi.

A questo punto osserviamo che mentre nel caso di velocità della corrente costante abbiamo potuto usare sia la formula sia il metodo grafico, in questo caso ci siamo limitati al solo metodo grafico. Esiste un metodo analitico per calcolare le miglia percorse nel caso di velocità che varia nel tempo?

Ebbene si, tale metodo esiste e si basa sul calcolo degli integrali. Gli integrali costituiscono l’argomento finale di un corso di analisi matematica e i concetti che si trovano alla loro base non sono proprio elementari (in particolare mi riferisco al concetto di limite). Di seguito il calcolo dell’integrale viene affrontato in maniera intuitiva e non rigorosa cercando di rendere la sua comprensione abbastanza agevole.

Partiamo dalla considerazione che non possiamo applicare la formula relativa al primo caso per il semplice motivo che la velocità non è costante. Infatti se scrivessimo:

M = V (t’’ – t’)

Che valore dovremmo dare a V? Utilizzando il metodo grafico abbiamo visto che se a V diamo il valore della velocità media si ottiene proprio il valore delle miglia percorse. Ciò e vero ma, per ora facciamo finta di non sapere questa cosa; come ce la caviamo? Possiamo fare il seguente ragionamento: io devo calcolare le miglia percorse in due ore; poiché la velocità varia nel tempo non posso usare la famosa formula; però se dovessi calcolare le miglia percorse in un minuto potrei utilizzare lo stesso la formula in quanto in un minuto la velocità non varia di molto e quindi la posso assumere costante. Se indichiamo con Dt l’intervallo di un minuto, con v(t) la velocità posseduta durante quel minuto e con Dm le miglia percorse in quel minuto possiamo scrivere, in analogia con la formula valida per il caso di velocità costante:

Dm = v(t)Dt

Ovviamente otteniamo un’espressione approssimata per le miglia percorse anche in un solo minuto perché sappiamo che la velocità in quel minuto varia (anche se di poco). Allora i matematici hanno fatto la seguente pensata: perché calcolare le miglia percorse in un minuto e non in un intervallo di tempo molto più piccolo? Così hanno detto: sia dt questo intervallo di tempo piccolissimo e sia v(t) la velocità esatta della corrente all’istante t; ovviamente le miglia percorse in questo intervallo di tempo saranno veramente poche (le indichiamo con dm) ma la formula che mi permette di calcolarle questa volta è esatta:

dm = v(t)*dt

Ti faccio notare che la lettera d si antepone ai simboli m e t proprio per indicare che queste sono quantità molto piccole. Nella figura qui sotto è riportata in blu l’area corrispondente alle miglia percorse nell’intervallo di tempo dt.

Osservando la figura si vede che se dt è veramente piccolo la figura che racchiude l’area in blu è un rettangolo e quindi l’area è data dal prodotto della base per l’altezza.

Come faccio adesso a sapere quante miglia percorro in due ore? Basta sommare i singoli pezzettini di miglia che abbiamo indicato con dm. Una volta eseguita la somma, poiché ciascun pezzettino è calcolato in maniera esatta, avrò calcolato le miglia percorse anch’esse in maniera esatta. C’è però un problema: i singoli pezzettini sono talmente tanti (perché sono piccoli) che non si possono sommare uno ad uno. Bisogna ricorrere al calcolo integrale. Con il calcolo integrale possiamo eseguire la somma di tutti i pezzetti dm nell’intervallo compreso tra t’ (estremo inferiore dell’intervallo) e t’’ (estremo superiore dell’intervallo). Per quanto ci riguarda dobbiamo eseguire la somma (il simbolo di integrale ricorda una S per indicare l’operazione di Somma):

Si dimostra (non è possibile farlo senza ricorrere a concetti di analisi matematica) che il risultato dell’integrale sopra è dato da:

con alcuni passaggi si può far vedere che l’espressione precedente è equivalente a quella che impiega la velocità media (se vuoi prova a dimostrarlo).

Siamo finalmente giunti al caso che ci interessa davvero cioè quello in cui la velocità della corrente varia con legge sinusoidale. Probabilmente si considera questo caso poiché esso è quello che più si avvicina alla realtà. Se la velocità varia con legge sinusoidale, detto t₁ l’istante in cui la velocità è nulla si può scrivere:

v(t) = Vsenw(t – t₁)

Nella formula precedente V è la velocità massima della corrente, mentre w (detta pulsazione angolare) è una grandezza che moltiplicata per un tempo (misurato in ore) deve dar luogo a un angolo (misurato in radianti [e non in gradi!]); pertanto l’unità di misura di w è rad/ora. Una caratteristica delle funzioni sinusoidali è che dopo un certo tempo che prende il nome di periodo (indicato con T) la funzione assume lo stesso valore di prima. Tra pulsazione angolare e periodo sussiste la seguente relazione:

se ora poniamo t₂ = T + t₁ si ha che:

Un’altra caratteristica dell’andamento sinusoidale è che la velocità della corrente dopo metà periodo cambia verso (se fossimo sempre sull’ipotetica zattera dopo metà periodo inizieremmo a tornare indietro!).

A questo punto è bene osservare che quanto esaminato nei primi due casi non è stato inutile, infatti:

• anche in questo caso le miglia percorse corrispondono all’area della regione in blu della figura sotto;

• anche in questo caso la formula della velocità costante è applicabile solo per intervalli di tempo molto piccoli, cioè si ha:

Eseguendo questo integrale tra l’estremo inferiore t’ e l’estremo superiore t’’ otteniamo le miglia M percorse nell’intervallo (t’’ – t’). Si può dimostrare che il risultato di questo integrale (che corrisponde all’area del trapezio mistilineo in blu) e data dall’espressione:

se ora al posto di w sostituiamo l’espressione ricavata in precedenza si ottiene:

(domanda: quante miglia si percorrono in un intervallo di tempo pari a un periodo?)