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Studio della funzione:

Lo studio della funzione assegnata verrà effettuato in base al seguente schema:

1. individuazione del campo di esistenza;

2. studio del segno;

3. intersezione con l'asse y e individuazione di eventuali asintoti verticali;

4. calcolo dei limiti della funzione in corrispondenza dei punti di confine del dominio (individuazione di eventuali asintoti orizzontali);

5. individuazione degli eventuali asintoti obliqui;

6. studio del segno della derivata prima;

7. studio del segno della derivata seconda.

Prima di tutto però occorre risolvere la questione del modulo.

Come vedremo per la presenza del modulo il nostro studio sarà doppio! Infatti, per togliere il modulo e poter così calcolare i limiti e le derivate, la funzione assegnata deve essere ridefinita.

Essendo (lo studio della disequazione viene tralasciato):

si hanno le seguenti identità:

la funzione assegnata può essere definita come:

A questo punto, per non sbagliare, andrebbero eseguiti due studi di funzione. Tuttavia, con un minimo di attenzione non sono necessarie tali ripetizioni. Ad esempio possiamo studiare la funzione:

A questo punto dovresti convincerti che quest'ultima funzione è equivalente sia alla funzione assegnata sia alle due precedenti funzioni.

Entrambe le funzioni non sono definite se x = -1 o se x = 1 (in questo caso si annulla il denominatore). Pertanto dal dominio della prima funzione dobbiamo escludere tali valori; questa situazione non si verifica per la seconda funzione in quanto i valori di x che annullano il denominatore non fanno parte del dominio.

Si può costruire il seguente grafico:

L'intersezione della curva si determina ponendo x = 0 da cui si ottiene:

f(x) = 0

Gli eventuali asintoti verticali si determinano calcolando il limite della funzione in corrispondenza dei punti che annullano il denominatore:

essendo a = 1 per x < -1.

Forse questa ultima affermazione richiede una precisazione. Il limite che abbiamo calcolato studia il comportamento della funzione per x che tende a –1 da sinistra cioè per x che assume si valori sempre più prossimi a – 1 ma tuttavia sempre minori di – 1. In tale situazione a vale 1.

Con lo stesso procedimento si calcolano gli altri limiti, ottenendo:

Dunque le rette di equazione x = -1 e x = 1 sono asintoti verticali della funzione assegnata.

I limiti per x = -1 e x = 1 sono già stati calcolati. Restano da calcolare i limiti per x che tende a infinito. Osserviamo che in entrambi i casi si ha a = 1, infatti se x è molto grande allora sicuramente x > 1 (analogo discorso per x che tende a – infinito). Si ha:

Le funzioni algebriche razionali fratte che hanno il grado del numeratore superiore di una unità rispetto a quello del denominatore presentato asintoti obliqui. L'equazione generica dell'asintoto è:

I due coefficienti m e q possono ottenersi in vari metodi, ad esempio, essendo:

si ha che m = 1 e q = 0

dunque l'asintoto obliquo della funzione assegnata ha equazione y = x.

A questo punto, prima di procedere con lo studio della derivata prima è molto utile iniziare a tracciare un grafico approssimativo della funzione in base alle informazioni sin qui disponibili:

In base a tale grafico lo studio delle derivate prima dovrebbe evidenziare la presenza di un massimo e di un minimo mentre quello della derivata seconda la presenza di punto di flesso. La verifica di questa affermazione mediante lo studio delle derivate viene tralasciato.

1) Sai mettere in evidenza le differenze tra il grafico della funzione assegnata e quello della funzione:

2) Che simmetrie presentano la funzione assegnata e quella appena scritta?