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Per quanto riguarda il quesito da te posto è necessario precisare che la regola per ricavare la frazione generatrice di un numero decimale periodico (semplice o misto) viene insegnata alla scuola media senza dimostrazione (come tanti altri argomenti). Ciò è dovuto al fatto che durante questo momento della formazione scolastica si preferisce far acquisire allo studente una certa "abilità matematica" piuttosto che una "capacità di analisi". Tuttavia, mi sembra più che legittimo domandarsi il perché delle regole e sforzarsi di comprendere i meccanismi che sono alla base di queste, piuttosto che "imparare a memoria".

Nel caso particolare da te posto, la spiegazione non è molto complicata anche se richiede un certo ragionamento.

Il trucco è che per ricavare la frazione generatrice di un numero decimale periodico si cerca di sfruttare la regola per ricavare la frazione generatrice di un numero decimale non periodico. E' noto che per il numero decimale non periodico 4,78 la frazione generatrice si ottiene moltiplicando il numero dato per la frazione 100/100. In questo modo si ottiene 478/100. Questa è già la frazione generatrice, che però può essere semplificata in 239/50. Osserviamo che se il numero decimale avesse avuto una sola cifra decimale (ad esempio 3,8) la frazione da moltiplicare sarebbe stata 10/10 (ottenendo 38/10), se il numero decimale avesse avuto tre cifre decimali la frazione da moltiplicare sarebbe stata 1000/1000 e così via.

Ora, ciò che distingue un numero decimale periodico da un numero decimale non periodico è proprio il periodo (qui indicato utilizzando la notazione con parentesi tonde). Ad esempio il numero 7,(5) è diverso dal numero 7,0 per la presenza del periodo (5). Osserviamo che 7,(5) - 0,(5) = 7,0.

Dovrebbe essere abbastanza facile convincersi che moltiplicando per 10 il numero periodico 7,(5) si ottiene 75,(5). Se ora si esegue la sottrazione 75,(5) - 7,(5) si ottiene 68,0. Abbiamo cioè trovato un modo per far scomparire la parte periodica. Se ora si ricorda che 75,(5) è pari a 10 volte il numero periodico 7,(5) si può concludere che 68,0 è pari a 9 volte il numero periodico 7,(5) infatti a 10 volte 7,(5) si è sottratto 7,(5). Dunque dividendo 68,0 per 9 si deve ottenere il numero periodico 7,(5) e quindi 68/9 è la frazione generatrice del numero periodico 7,(5).

Dunque la regola per la frazione generatrice può essere spiegata alla luce dei passaggi svolti per il numero 7,(5):

la frazione generatrice si ottiene mettendo a numeratore la differenza tra tutto il numero (75) ed il numero costituito dalle cifre a sinistra di quelle con il periodo (7) ed al denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo (1 cifra) e tanti ZERI quante sono le cifre dell'antiperiodo (nessuna cifra).

In base alla regola si ha che la frazione generatrice è data da (75 - 7)/9 che è proprio 68/9.

Possiamo quindi concludere che la regola per trovare la frazione generatrice di un numero periodico deriva dal fatto che si cerca di eliminare la parte periodica mediante una sottrazione. A tale scopo è necessario moltiplicare il numero periodico per 10.

L'esempio precedente era relativo ad un numero periodico semplice con periodo costituito da una sola cifra. Il ragionamento fatto non cambia per numeri periodici più complicati.

Consideriamo ad esempio il numero periodico misto 5,34(567). Per eliminare il periodo occorre moltiplicare tale numero per 100000 ottenendo 534567,(567) (che quindi rappresenta 100000 volte il numero periodico dato) e sottrarre il numero 534,(567) (che rappresenta 100 volte il numero dato). Dalla sottrazione si ottiene il numero non periodico 534033,0 (che rappresenta

100000 - 100 = 99900 volte il numero dato) Pertanto il numero dato è generato dalla frazione 534033/99900.

Ripercorriamo i passaggi alla luce della regola:

la frazione generatrice si ottiene mettendo a numeratore la differenza tra tutto il numero (534567) ed il numero costituito dalle cifre a sinistra di quelle con il periodo (534) ed al denominatore un numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo (3 cifre) e tanti ZERI quante sono le cifre dell'antiperiodo (2 cifre).

In base alla regola si ha che la frazione generatrice è data da:

(534567 - 534)/99900 = 534033/99900.

Sperando che la spiegazione sia stata abbastanza chiara, ti consiglio di calcolare le frazioni generatrici di alcuni numeri periodici con entrambi i metodi, cioè sia applicando la regola sia cercando di eliminare la parte periodica.