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In effetti il metodo per calcolare la radice quadrata di un numero è piuttosto macchinoso e difficile da ricordare. Probabilmente dopo le medie nessuno ti chiederà mai di calcolare a mano la radice quadrata di un numero (a meno che tu non decida di realizzare un sito di matematica!). In ogni caso io il metodo me l'ero proprio dimenticato. Ma, chiacchiere a parte, procediamo con la risposta.

Di seguito ci si riferisce all'estrazione della radice quadrata di un numero arrestandosi alla parte intera; infatti il caso di numero decimale può ricondursi al precedente mediante un'opportuna moltiplicazione per potenze di dieci.

Per comprendere a pieno la dimostrazione del metodo sono necessari i seguenti strumenti:

1. la definizione di radice quadrata di un numero, che è quel numero che moltiplicato per se stesso fornisce il numero dato;

2. la nozione di notazione posizionale che noi utilizziamo per scrivere i numeri.

   Noi scriviamo i numeri utilizzando il sistema numerico in base dieci. Quando scriviamo il numero 1519 attribuiamo un significato preciso alla posizione di ciascuna cifra. Siamo in grado di dire che il numero 1519 è composto da 1 migliaia, 5 centinaia, 1 decina e 9 unità. La stesa cosa può essere detta in un linguaggio un pò più matematico scrivendo:

   1519 = 1 x 1000 + 5 x 100 + 1 x 10 + 9 x 1;

3. alcune nozioni di algebra per manipolare le espressioni.

Supponiamo di voler calcolare la radice quadrata del numero 456789. Di seguito il calcolo viene fatto con il procedimento che sta alla base del metodo "a memoria" evidenziando tra parentesi quadre e in rosso le analogie.

Tutto si basa sull'uso (opportuno) delle potenze di dieci.

Per prima cosa chiediamoci da quante cifre sarà composta la parte intera della radice quadrata del numero dato. Essendo:

100^2 < 456789 < 1000^2

sicuramente il numero che cerchiamo sarà composto da tre cifre. Sia allora xyz tale numero, che, esplicitando la notazione posizionale si scrive anche:

x*100 + y*10 + z*1

Poiché xyz è la radice quadrata (a meno dell'eventuale resto) di 456789 deve essere:

(xyz)*(xyz) = 456789

La stessa uguaglianza può essere scritta esplicitando la notazione posizionale:

(x*100 + y*10 + z*1)(x*100 + y*10 + z*1) = 456789

Eseguendo i calcoli si ottiene (per semplicità non uso le parentesi, ti ricordo che l'operazione di elevamento a potenza [simbolo ^] ha la precedenza sulla moltiplicazione [simbolo *]):

x^2*10000 + y^2*100 + z^2*1 + 2xy*1000 + 2xz*100 + 2yz*10 = 456789

La precedente espressione può essere ordinata in base alle potenze di dieci:

x^2*10000 + 2xy*1000 + (y^2 + 2xz)*100 + 2yz*10 + z^2*1 = 456789

Il metodo prevede dapprima il calcolo della cifra x, poi della cifra y e quindi della cifra z. Il procedimento si basa sul confronto tra espressione di sinistra e il numero dato opportunamente scritto facendo intervenire potenze di dieci. Ti ricordo che per come abbiamo definito x, y e z, cioè come le cifre del numero che stiamo cercando, ciascuna di esse può assumere un valore compreso tra 0 e 9.

Il numero assegnato si può scrivere:

456789 = 45*10000 + 6789

da cui si vede che x^2 non deve superare 45 (sia x^2 che 45 sono moltiplicati per 10000). Ora la cifra intera più alta tale che il suo quadrato non superi 45 è 6. Sostituendo questo valore al posto della x si ottiene:

6^2*10000 + 2*6*y*1000 + (y^2 + 2*6*z)*100 + 2yz*10 + z^2*1 = 456789

Eseguendo le moltiplicazioni:

360000 + 12y*1000 + (y^2 +12z)*100 + 2yz*10 + + z^2*1 = 456789

A questo punto 360000 può essere sottratto a entrambi i membri dell'espressione:

12y*1000 + (y^2 +12z)*100 + 2yz*10 + + z^2*1 = 96789

Calcolo della y

Adesso dobbiamo calcolare y; si potrebbe pensare di ripetere lo stesso procedimento di prima scrivendo:

12y*1000 + (y^2 +12z)*100 + 2yz*10 + + z^2*1 = 96*1000 + 789

e ricavare y dall'uguaglianza 12y = 96. Tuttavia questo modo di procedere non è corretto in quanto non tenendo conto del termine y^2*100. Tu dirai che il calcolo non tiene conto neanche degli altri termini, come 2yz*10, tuttavia questi termini contengono anche la z e non vengono al momento considerati. Bisogna allora ricavare y utilizzando il binomio:

12y*1000 + y^2*100

Con quale cifra deve essere confrontato? La risposta a questa domanda si ottiene scrivendo il binomio in questo modo:

(12y*10 + y^2)*100

da cui sivede che qualunque sarà y il binomio sarà sicuramenete un numero superiore a 100 e quindi possiamo scrivere:

(12y*10 + y^2)*100 = 967*100 + 89

[osserva che (12y*10 + y^2)*100 si può scrivere {(12*10 + y)y} che corrisponde alla cifra 12y moltiplicata per y, cioè a 12y*y]

Dobbiamo quidi cercare il numero, compreso tra 0 e 9, che sostituito al posto della y più si avvicina a 967.

Se ad esempio y = 9 si ottiene 1161. Se y = 8 si ottiene 1024. Se y = 7 si ottiene 889. Siccome più di cosi non possiamo avvicinarci senza superare 967 dobbiamo accettare y = 7. Trovata la y andiamo a sostituirne il valore nell'espressione generale:

88900 + 12z*100 + 14z*10 + + z^2*1 = 96789

Sottraendo a entrambi i membri 88900 si ha:

12z*100 + 14z*10 + + z^2*1 = 7889

Calcolo di z

A questo punto non resta che cercare il numero che sostituito a z si avvicina il più possibile a 7889 senza superarlo. Invece di partire da z = 9 e procedere con valori via via decrescenti, possiamo cercare di avvicinarci il più possibile al primo colpo facendo il seguente ragionamento: poichè nella somma dei tre termini il contributo proviene dal termine moltiplicato per 100 per il primo tentativo mi concentro solo su questo; allora divido 7889 per 12*100 e ottengo 6,57. Dunque provo con z = 6 (infatti con z = 7 o più grande sono ora sicuro che supererei 7889). Con z = 6 si ottiene 8076. Provo allora con z = 5. Si ottiene 6725.

In conclusione la parte intera della radice quadrata di 456789 è 675. Il resto è dato dalla differenza 7889 - 6725 = 1164.

Volendo fare la prova si ha che 675^2 = 455625 e che 455625 + 1164 = 456789.

Un'ultima osservazione. Ti sarai sicuramente reso conto delle difficoltà pratiche che si hanno per spiegare questo argomento; probabilmente le stesse difficoltà le avrai tu nel cercare di capire quanto ho scritto. Il consiglio che posso darti è quello di provare a calcolare con il metodo che hai studiato la radice di 456789 leggendo nel frattempo questa risposta.